べき関数（指数関数）と対数関数
このページの改訂版を
岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門[上]」2008、培風館
に含めました。
また、上記下巻
岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門［下］」2009、培風館
も上梓しました。
べき関数（指数関数）
数
を
個掛け合わせたものを
で表し、の乗と読む。を（べき）指数という。例えば、
である。
ある数
を
回掛け合わせたものがになるとき、その数を
で表す。すなわち、
である。
2乗してになる数
は
を満たす。したがって、
である。
有理数
に対しての
乗を
で与える。すなわち、
である。
の
乗は、
を
で割ったもの
と定義する。
指数が小数点以下の桁数が有限個である場合は、整数／整数の形の有理数で表せる。例えば、
である。この場合、
と考える。
任意の数値は、有理数で近似できる。例えば、
である。ここで、記号
は近似式であることを表す。この場合、
すなわち、
は
で近似できる。
有理数で
を近似したとき（式（1.1））
(1.1)
はで近似できる（式（1.2））。
(1.2)
式（1.1）における近似の精度を高めると、式（1.2）の近似の精度も高くなると考えると、の値を有理数が限りなくに近づいたときのの値と定義することができる。
一般に、の
乗
を、に限りなく近づく有理数の数列
に対して
が近づく値として定義する。すなわち、
のとき 
（但し、は有理数）
である（定義）。
関数
は、次図のようになっている。
の場合は次図のようになる。
関数
をを底とするべき関数（指数関数）という。
の
乗はである。
べきについて次の性質が成り立つ。
（1.1） 
（1.2） 
対数関数
べき関数
(2.1)
は、変数の値が与えられると
の値が定まる。これを逆に見て、の値に対応するの値を求めることを考える。すなわち、をの関数と考えることもできる。このように、式（2.1）をの関数と見た場合、
(2.2)
と書く。例えば、
であるので、
と書く。
式（2.2）で表される関数を、を底とする対数関数という。特に
の場合は常用対数という。
底がNapier数
であるものを自然対数という。Napier数は次式
で与えられるものである。自然対数の場合は底を省略して書く場合が多い。
関数
（関数の独立変数をで表すという慣習に従って、上式における独立変数をで置き換えての関数として表記し直した）のグラフは次図のようになっている。
対数関数について次の性質が成り立つ。
（2.1） 
、 
（2.2） 
問題2.1 上の性質（2.1）、（2.2）を示せ。
略解
問題2.1
式（2.1）の前半について：
、
とおけば、
となる。したがって、対数関数の定義より、
を得る。
式（2.2）について：
(2.1.1)
(2.1.2)
とおく。
式（2.1.1）より
となる。上式と式（2.1.2）より
を得る。