積 分
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岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門[上]」2008、培風館
に含めた。さらに進んだ内容を扱うものとして
岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門［下］」2009、培風館
を上梓した。
区間
における関数
と
軸とに挟まれる面積を
(2.1)
で表す（図2.1）。
図2.1 面積と積分。赤の縦帯は、
上の面積
を表す。
図2.1の区間における関数と軸とに挟まれる面積は、区間を点
、
、・・・、
（ただし、
）によって
個の小区間に細分すると次式
で近似できる。上式は
とおくと、
(2.2)
と書ける。
区間の細分を細かくするほど式(2.2)による近似はよくなる。すなわち、
となる。
正負の値をとる関数の積分は正の部分と負の部分に分けて考える。まず、
および
と定義する。このとき、
となっている。上式により
の積分を次式で定義する（図2.2）。
図2.2 正負の値をとる関数の積分
いま、
のときは
と定義する。このとき、次式が成り立つ。
積分の記号における変数は、変数を表す他の記号、例えば
であってもよい。したがって、
である。
積分値をその上限の値の関数と見て
とおく。このとき、
となる。
図2.3 
の図
いま、
と表せるとする。このとき
すなわち、
である。
多重積分
変数の関数
と領域
とに挟まれた
次元の体積を次式
(4.1)
で表し、多重積分あるいは重積分（multiple integral）という。多重積分であることがわかっているときは積分の記号
を個並べずに１個あるいは２個の記号で表すことがある。
領域を次元小直方体に分割したときの各小直方体の1辺の長さをで表したとき、(4.1)式は
(4.2)
で近似できる（図4.1）。ここで、
の下のは、領域を小直方体で分割したとき、内のすべての小直方体についての和であることを表す。このとき、
はそれぞれの小直方体において任意の１点
を選んだときの値である。
図4.1 多重積分（２重積分）の近似
式(4.2)において、
とすると
である。
関数が正負の値をとるときは次のように多重積分を定義する。
まず、次の２つの関数を定義する。
このとき、
となっている。
関数
の領域上の多重積分を次式
で与える（定義）。
参考文献
（１）日本数学会編集「岩波数学辞典」第３版、岩波書店、1985
注： 用語は上記文献を参考にしたが、内容は心理学専攻生向けに直感的に理解できるものとした。