和と積の記号：ΣとΠ
このページの内容の改訂版を
岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門[上]」2008、培風館
に含めた。さらに進んだ内容を扱うものとして
岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門［下］」2009、培風館
を上梓した。
１．和
次の３つの数値、１，３，５、の和
について考える。３つの数値を
、
、
で表すと、上の和は
(1.1) 
と表すことができる。ここで、
である。式(1.1)を
(1.2) 
で表す。式(1.2)は
の添字
を、
の下のへの代入の値
から上の値
まで動かしたときのの和を表している。
と書き換えると
であり、
と書ける。
式(1.2)において、添字の動く範囲がわかっているときは簡単に
とか
と書くこともある。
問題1.1
次の和
、 
は正整数
を求めよ。
例1.1
個のデータ
、・・・、
の和は
と書ける。したがって、それらの平均値
は次式で表すことができる。
分散
は
なので、
と表すことができる。
２．積
次の３つの数値、１，３，５、の積
について考える。３つの数値を、、で表すと、上の積は
(2.1) 
と表すことができる。ここで、
である。式(2.1)を
(2.2) 
で表す。式(2.2)は
の添字を、
の下のへの代入の値から上の値まで動かしたときのの積を表している。
と書き換えると
であり、
と書ける。
式(2.2)において、添字の動く範囲がわかっているときは簡単に
とか
と書くこともある。
１からまでの積は
と書ける。
略 解
問題1.1
とおく。このとき
となる。よって、
を得る。