データの分布の指標

１変量の場合

平均値

　例えば、3個の数値、５，６，７、があるとき、これらの数値を１つの数値で代表させることを考える。いま、この３個の数値を代表する値をで表すとき、３個の数値、５，６，３、は代表値が３つあることであると考えられる。すなわち、次式が成り立つと考えられる。

上式より次式が導かれる。

　　　　　　　　　　　（１）

　式（１）の値は、３個の数値、５，６，７、の平均値（あるいは平均）と呼ばれている。

３個の数値、５，６，７、をならして、数値の３個分と考える。

　一般に、個の数値、、・・・、、があるとき、それらを１つの数値で表して、が個集まったもので表すと、次式が成り立つと考えられる。

したがって、は次式で与えられる。

　　　　　　　　　　（２）

式（２）で与えられる値は、個の数値、、・・・、、の平均値（あるいは平均）と呼ばれている。式（２）における記号は、からまでの和を表すものである。詳しくは、ここをクリックして表示されるページを参照のこと。

平均値は、データ全体の位置を表すもので、データの分布をヒストグラムで表示したとき、その重心の位置を指し示す。

平均値などの１変量統計量の算出およびヒストグラムを描くプログラムP1VarDescri.exeを用意した。ここをクリックして表示されるダイアログボックスで「開く」あるいは「実行」などを選ぶとダウンロード・実行される。プログラムの使い方の説明はここをクリックして表示されるページにある。

分散と標準偏差

データ全体の散らばり具合を表すものが、分散あるいは標準偏差である。データの散らばり具合を、平均値との差で表すと、以下のように考えられる。

いま、３個のデータ、１，３，５、があるとする。これらの平均は

である。この平均からの各データ、１，３，５、の差は、

、　、　

平均からの差を表すこれらの数値を代表する値でデータの散らばり具合を表すことが考えられるが、平均からの差をそのまま平均すると０になるので、それらの２乗の平均を考える。すなわち、次の値でデータの平均を中心とする散らばり具合を表す。

上の値を分散という。

　分散は2乗の平均なので、例えば、データとしてある学部の学生の体重をとったとき、平均値の単位はデータと同じ例えばであるが、分散の単位はとなる。学部別に体重の平均値を表す棒グラフを描いたとき、平均の単位はであるので、同じグラフ内に学部内の体重のデータの散らばり具合を表すを単位とする分散を書き込むことができない。分散の平方根をとると単位がに戻るので、平均を描いたグラフ内その値を書き込むことができる。この分散の平方根をとったものは標準偏差と呼ばれている。上の例の場合、標準偏差は次式で与えられる。